Base orthonormée de l'espace de Hilbert

Définitions

$\triangleright$ Définition d'une base orthonormée discrète dans l'espace de Hilbert

Une base de l'espace de Hilbert (Base hilbertiennne) est formé d'une suite de vecteurs $\ket{V_i}\in\mathcal H$ avec $i=1,2,....$.
Pour être orthonormée, ces vecteurs doivent vérifier les conditions suivantes:

Le Produit scalaire Hermitien montre l'orthogonalité de deux vecteurs d'ondes différents et une norme normale (égale à 1) de ces derniers (famille orthonormale de $\mathcal H$):

$${{\langle V_i|V_j\rangle}}={{\delta_{i,j} }}$$

Relation de fermeture:

$$\sum_i\ket {u_i}\bra{u_i}= \hat{\Bbb 1}$$

Une famille maximale / complète :

$\forall \,\,\ket{\Psi}\in\mathcal H$ se décompose tel que :$$\ket{\Psi}={{\sum_{i=1,2,...}\lambda_i\ket{V_i} }}$$$$\text{avec }\lambda_i\in\Bbb C\text{ :composantes}$$

$\triangleright$ Définition d'une base orthonormée continue dans l'espace de Hilbert

La base est continue $\{\ket\Psi_\alpha;\alpha\in\Bbb R\}$

Le Produit scalaire Hermitien:

$$\braket{\Psi_{\alpha}|\Psi_{\alpha'} }={{\delta(\alpha-\alpha')}}$$
Avec $\delta$ Delta de Dirac

Relation de fermeture:

$$\int d\alpha\ket\Psi_\alpha\bra\Psi_\alpha= \hat{\Bbb 1}$$

Une famille:

$$\Psi={{\int d\alpha\langle{\Psi(\alpha)|\Psi_{\alpha} }\rangle }}$$
Avec $\Psi(\alpha)=\langle{\Psi_\alpha |\Psi}\rangle \in\Bbb C$ la Fonction d'onde de $\ket \Psi$ dans la représentation $\alpha$ (Physique quantique (Représentation))

Composition d'un vecteur d'onde

$\triangleright$ Composition d'un vecteur d'onde dans une base orthonormé de l'espace d'Hilbert

$$\ket{\Psi}=\begin{pmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ ..\\ ..\end{pmatrix}$$
Avec $\lambda_i\in\Bbb C$ la composante qui dépend de la base choisie

Math'φsics

Formulaire de report

Définitions

\(\triangleright\) Définition d'une base orthonormée discrète dans l'espace de Hilbert

\(\triangleright\) Définition d'une base orthonormée continue dans l'espace de Hilbert

Composition d'un vecteur d'onde

\(\triangleright\) Composition d'un vecteur d'onde dans une base orthonormé de l'espace d'Hilbert